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Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)- Section toutes armes – Géométrie Trigonométrie– Question 2 (1998)

Enoncé:

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé , on donne les points p, m et a, la droite A et l'angle α :

L'unité de longueur est 1 cm.

On demande: (Ne pas calculer les radicaux)

a. de déterminer les coordonnées de la projection orthogonale du point p sur la droite A

b. de déterminer les coordonnées du point symétrique de p par rapport à la droite A

c. de démontrer que l'aire du triangle , en utilisant la relation entre l'aire du triangle et le produit scalaire des vecteurs et

d. d'en déduire les coordonnées du point a se trouvant à gauche de la droite pm.

Résolution

Commençons par représenter les données:

a. Calcul des coordonnées de la projection orthogonale du point p sur la droite A

La projection orthogonale du point p sur la droite A est le point d'intersection de la droite A et de la perpendiculaire à cette droite A passant par le point p.

Cherchons l'équation de la perpendiculaire à A passant par p. Le coefficient angulaire de A est donc le coefficient angulaire de la perpendiculaire est -2 et son équation est donc:

Calculons maintenant les coordonnées du point d'intersection des deux droites. Pour cela, nous devons résoudre le système:

Remplaçons y dans la deuxième équation par l'expression tirée de la première:

La projection orthogonale de p sur la droite A a donc comme coordonnée (6,6). Il s'agit donc du point m comme le confirme le dessin.

b. Calcul des coordonnées du point symétrique de p par rapport à la droite A

Nommons q le point symétrique de p par rapport à la droite A et désignons par ses coordonnées.

Nous avons la relation vectorielle:

Exprimons cette égalité avec les coordonnées des points:

Le point symétrique de p par rapport à la droite A a comme coordonnées (8,2).

c. Calcul de l'aire du triangle apm

Pour cela établissons d'abord la relation entre l'aire du triangle apm et le produit scalaire des vecteurs .

L'aire S du triangle apm est donné par la formule:

Le produit scalaire des vecteurs est par définition:

Nous en déduisons:

Nous remplaçons cette expression dans S et nous obtenons:

Pour calculer S, nous devons calculer le produit scalaire des vecteurs . Or pm est perpendiculaire à ma, donc la projection orthogonale du vecteur sur le vecteur est le vecteur . Nous avons donc:

Calculons la distance pm à l'aide des coordonnées des deux points:

Finalement:

d. Calcul des coordonnées du point a se trouvant à gauche de la droite pm

Soit x l'abscisse du point a. Ce point est sur la droite A, donc ses coordonnées sont:

La distance entre les points m et a se calcule de la façon suivante:

D'autre part, puisque le triangle amp est rectangle en m, l'aire S du triangle amp est:

D'après les résultats du point précédent, nous en déduisons:

Et par conséquent:

Il nous reste à résoudre l'équation obtenue. Effectuons les carrés et réduisons les calculs:

Il s'agit d'une équation du second degré. Calculons son réalisant et ses solutions:

Le point a se trouvant à gauche de la droite pm, l'abscisse de a doit être inférieure à 6 donc:

Calculons maintenant l'ordonnée de a:

Les coordonnées du point a sont donc:

Rappels de cours concernant cette question:

 Coefficients directeurs (ou coefficients angulaires) de deux droites perpendiculaires dans un repère orthonormé

Si d et d' sont deux droites de coefficients directeurs respectifs m et m':

d et d' sont perpendiculaires si et seulement si

 

 Equation d'une droite de coefficient directeur (ou coefficient angulaire) donné k et passant par un point donné A(xA,yA)

Le coefficient directeur k se nomme aussi pente de la droite car sa valeur détermine l'inclinaison de la droite par rapport aux axes de coordonnée.

 Points d'intersection entre deux courbes et méthode de substitution

Pour rechercher la coordonnée des points d'intersection de deux droites ou courbes, il faut résoudre le système formé par les équations de ces droites ou courbes.

La méthode de substitution pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des équations et à remplacer cette inconnue par l'expression obtenue dans l'autre équation. Cette nouvelle équation ne contient alors plus qu'une inconnue et peut donc être résolue par la méthode adéquate.

 Egalité de deux vecteurs

Les vecteurs sont égaux si et seulement si:

Coordonnées d'un vecteur dans un repère

Si dans un repère les points A et B ont comme coordonnées respectives (xA,yA) et (xB,yB) alors le vecteur a comme coordonnées (ou composantes):

Aire d'un triangle

 

Si a et b désignent la longueur de deux côtés d'un triangle et l'angle compris entre ces côtés alors l'aire S du triangle est

 

Produit scalaire de deux vecteurs

Définition

Si sont deux vecteurs, alors le produit scalaire des deux vecteurs est défini par:

désigne la norme du vecteur et est l'angle orienté dont le côté origine est et le côté extrémité est .

Cas particulier

Propriété

Si est la projection orthogonale de sur , alors

Distance entre deux points dans un repère orthonormé

Si A et B sont deux points de coordonnée respective (xA,yA) et (xB,yB), la distance entre ces deux points est donnée par la formule:

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q121)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du premier degré  
(référence : F1) 
définition, représentation, racine, signe

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Equations des droites dans le plan
(référence F5) 
équation réduite, équation générale, tracer une droite, droite passant par un point et de coefficient directeur donné, droite passant par 2 points, interprétation géométrique du coefficient directeur, condition de parallélisme, condition de perpendicularité, angle que forme une droite avec l'axe des abscisses, exemples illustrant ces notions.

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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