Enoncé:

Résolution

Choisissons d'abord un repère orthonormé (car l'équation du cercle est donnée dans un repère orthonormé).

Pour l'axe des abscisses, nous choisissons l'axe de rotation.

Pour l'axe des ordonnées, nous choisissons la droite perpendiculaire à l'axe des abscisses par le centre du cercle.

Le centre du cercle a alors pour coordonnée (0,c).

Le cercle C a donc pour équation:

Afin d'écrire y sous la forme d'une fonction de x, isolons y dans cette équation:

Le cercle est constitué des graphes des deux fonctions:

(demi-cercle situé au-dessus de la droite d'équation y=c)

(demi-cercle situé en dessous de la droite d'équation y = c)

Le volume demandé est la différence entre les volumes engendrés, d'une part par la rotation autour de l'axe X, de la surface du plan bordée par celui-ci, le graphe du demi-cercle supérieur et les deux droites d'équation x = - r et x = r (voir fig 1) et d'autre part, par la rotation autour de l'axe X, de la surface du plan bordée par celui-ci, le graphe du demi-cercle inférieur et les deux droites d'équation x=-r et x=r (voir fig 2).

Ces deux volumes se calculent en utilisant le calcul intégral par la formule du volume du solide de révolution:

Calculons cette dernière intégrale par la substitution classique:

si x = - r

si x = r

donc

(nous avons simplifié en utilisant la formule fondamentale de trigonométrie)

Linéarisons cette expression en utilisant la formule de Carnot:

Rappels de cours concernant cette question:

Equation du cercle dans un repère orthonormé

Si (x_C , y_C) est la coordonnée du centre, et r le rayon, le cercle a pour équation:

Volume d'un solide de révolution

Le volume du solide engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses, de la surface limitée par celui-ci, les droites d'équation x = a et x = b ainsi que par la courbe d'équation y = f(x), est donné par la formule:

Calcul d'une intégrale définie

 
où F est une primitive de f c’est-à-dire que

Intégration par substitution

Pour calculer

on peut poser:

avec

Formules des dérivées employées dans cette question

Formules de trigonométrie employées dans cette question

Formule fondamentale :
Formule de Carnot :

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip 

Cette question résolue (référence : Q12)

Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base  et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.

Le formulaire de trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation - transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Maîtriser le calcul intégral pas à pas!
(référence F13)
Intégration immédiate - formules et leurs utilisations - comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer - intégration par parties - intégration par substitution - liste de substitutions utiles - quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques - intégration des fractions de polynômes  - décomposition en fractions simples - calcul des intégrales définies - les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages

Intégrale définie d'une fonction continue sur l'intervalle [a,b]
(référence F3)
définition, propriétés, interprétation graphique, calcul, applications: calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution.

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