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Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)- Epreuve complémentaire Polytechnique – Algèbre Analyse Trigonométrie– Question 3 (1999)

Enoncé:

On donne la matrice réelle

On demande de calculer A-1.

Résolution

Calculons d'abord le déterminant de la matrice A. Pour cela, nous utilisons les propriétés des déterminants. En effet, si nous observons cette matrice, nous constatons que si nous soustrayons la colonne 2 de la colonne 3, nous faisons apparaître deux zéros dans ce déterminant, et cela nous facilite le calcul du déterminant.

Le déterminant étant non nul, la matrice A est inversible.

Calculons la matrice des cofacteurs de A, c'est-à-dire la matrice obtenue en remplaçant chaque élément de A par son cofacteur:

Transposons maintenant la matrice obtenue:

Il nous reste à diviser chaque terme de la matrice par le déterminant. La matrice obtenue est la matrice inverse de A:

Rappels de cours concernant cette question:

Calcul du déterminant d'une matrice

       Déterminant 2x2 (définition)

 

       Déterminant 3x3

Considérons une matrice c'est-à-dire un tableau de nombres (réels ou complexes), composée de 3 lignes et de 3 colonnes.

Définitions préalables

Le mineur d'un élément aij, noté Mij est le déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j (ligne et colonne dans lesquelles se trouve l'élément aij) dans le tableau donné.

Exemple: le mineur de l'élément a23 est:

Le cofacteur d'un élément aij, noté Aij est donné par la formule:

Propriété préalable à la définition de déterminant

La somme des produits des élément d'une rangée (ligne ou colonne) par leur cofacteur respectif est une constante. Cette constante est appelée déterminant de la matrice. 

On aura donc par exemple, si nous développons suivant la deuxième ligne :

 

Remarque: pour calculer le déterminant, la ligne ou la colonne suivant laquelle nous développons est laissée à notre choix. Nous pouvons donc choisir celle qui contient le plus d'éléments nuls (s'il y en a) ou en faire apparaître à l'aide des propriétés suivantes.

Propriétés facilitant le calcul d'un déterminant

Lorsqu'on multiplie les éléments d'une rangée (ligne ou colonne) par un facteur commun, le déterminant est multiplié par ce facteur.

Conséquence: on peut mettre en évidence un facteur commun à tous les éléments d'une ligne ou colonne.

Lorsqu'on ajoute à une rangée une combinaison linéaire (somme de multiples) des rangées parallèles, la valeur du déterminant ne change pas

En pratique: On emploie cette propriété pour faire apparaître des éléments nuls dans la matrice et ainsi faciliter le calcul du déterminant (voir remarque ci-dessus).

Calcul de la matrice inverse d'une d'une matrice

Définition

L'inverse d'une matrice A à n lignes et n colonnes, si elle existe, est la matrice à n lignes et n colonnes, notée A-1 telle que

où I est la matrice identité, c'est-à-dire la matrice à n lignes et n colonnes, dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à 1.

Par exemple, la matrice I à 3 lignes et 3 colonnes est la matrice

Si A-1 existe, on dit que la matrice A est inversible

Condition pour qu'une matrice carrée soit inversible

A est inversible si et seulement si le déterminant de A est non nul

Calcul de l'inverse d'une matrice A

- calculer le déterminant de A. Si celui-ci est non nul, la matrice A est inversible

- calculer la matrice des cofacteurs de A, c'est-à-dire la matrice dans laquelle chaque élément de A a été remplacé par son cofacteur

- transposer la matrice obtenue, c'est-à-dire que la ligne 1 devient la colonne 1, la ligne 2 devient la colonne 2, etc.

- diviser chaque terme de la matrice obtenue par le déterminant de A. Cette dernière matrice est  A-1.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q119)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Calcul du déterminant d'une matrice
(référence F19)
Déterminant 2x2 (définition) - Déterminant 3x3 (mineur et cofacteur d'un élément d'une matrice - définition du déterminant - propriété permettant de faciliter le calcul d'un déterminant - illustration par des exemples

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