Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Analyse – Question 3.b (Septembre 1999)

Enoncé:

On veut mettre sur le marché une boîte cylindrique sans couvercle d'une capacité de cm³. Le matériau employé pour le fond coûte 0,03 euro et celui utilisé pour la surface latérale coûte 0,01 euro par cm². Quelles doivent être le rayon R et la hauteur h de la boîte pour que celle-ci coûte le moins possible?

Résolution

Rappelons d'abord les formules relatives au cylindre de hauteur h et dont le rayon de la base est R.

Surface latérale (rectangle de longueur égale à la circonférence du cercle de la base, et de hauteur h):

Surface de la base (disque de rayon R):

Volume (surface de la base x hauteur):

Nous en déduisons:

coût de la surface latérale (en euro):

coût de la surface de la base (en euro):

Coût total de la fabrication d'une boîte sans couvercle (en euro):

Ce coût dépend de deux variables R et h mais celles-ci sont liées par la contrainte donnée dans l'énoncé pour le volume. Nous avons donc:

Isolons h et remplaçons-le dans l'expression du coût:

Le coût est donc une fonction de la seule variable R:

Pour étudier les variations du coût, nous calculons la dérivée, puis nous étudierons son signe:

Racines des facteurs composant C'(R):

Tableau de signe de C'(R) et des variations de C(R):

Le coût de fabrication de la boîte est donc minimum lorsque le rayon R est 3 cm.

Dans ce cas la hauteur est:

Le coût minimum n'est pas demandé mais il se calcule facilement:

Rappels de cours concernant cette question:

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) 

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q116)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Dérivée d'une fonction 
(référence : F4) 
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

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