Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Analyse – Question 3.a) (Septembre 1999)

Enoncé:

Soient f et g deux fonctions de R dans R. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifiez brièvement!

a1) f continue et g discontinue en a f.g discontinue en a.

a2) f et g discontinues en a f+g discontinue en a.

a3) f et g croissantes f+g croissante

a4) f et g croissantes f.g croissante

Résolution

a1) f continue et g discontinue en a f.g discontinue en a : faux

En effet, considérons les fonctions f et g définies par:

f est continue en 0 et g est discontinue en 0. La fonction f.g est définie par:

Cette fonction est continue en 0.

a2) f et g discontinues en a f+g discontinue en a : faux

En effet, considérons les fonctions f et g définies par:

f et g sont discontinues en 0. La fonction f+g est définie par:

Cette fonction est continue en 0.

a3) f et g croissantes f+g croissante : vrai

Par définition:

f est est croissante sur l'intervalle I

g est est croissante sur l'intervalle I

Par conséquent, si f et g sont croissantes sur l'intervalle I, alors

et donc:

c'est-à-dire:

Ce qui exprime que la fonction f+g est croissante sur l'intervalle I.

a4) f et g croissantes f.g croissante: faux

En effet considérons les fonction f et g définies par:

f et g sont croissantes sur .

La fonction f.g est définie par:

La fonction f.g est décroissante sur .

Le graphe ci-dessous représente les fonction f (en bleu), g (en vert) et f.g (en rouge).

Rappels de cours concernant cette question:

Pour justifier qu'une proposition est vraie, on cite la définition ou la propriété permettant d'affirmer que la proposition est vraie, ou on fait un raisonnement déductif à l'aide des définitions et/ou propriétés adéquates.

Pour justifier qu'une proposition est fausse, il suffit de citer un contre-exemple, c'est-à-dire un exemple (souvent un cas particulier) pour lequel la proposition n'est pas vérifiée.

La fonction f est continue en le réel a

Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition (fonction constante, identique, valeur absolue, inverse de x, puissance de x, racine nème de x, fonction sinus, cosinus, tangente, cotangente, exponentielles, logarithmes, arcsinus, arccosinus, arctangente, arccotangente).

Toute fonction qui peut s'écrire comme une somme, un produit, un quotient ou une composée de fonctions continues sur leur domaine de définition est une fonction continue sur son domaine de définition.

Une fonction est discontinue en le réel a si et seulement si elle n'est pas continue en ce réel.

Illustration graphique

f est une fonction croissante sur un intervalle I de réels si et seulement si

f est une fonction décroissante sur un intervalle I de réels si et seulement si

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Cette question résolue
(référence : Q115)

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