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On considère la fonction définie par
a) Donnez le domaine de f.
b) Calculez f ' et situez le ou les extrema éventuels.
c) Donnez les équations des asymptotes.
d) Esquissez le graphe de f et démontrez qu'il est situé en dessous de la droite y = -x.
Résolution a) domaine de définition: condition d'existence: (1): (2): la fonction exponentielle népérienne est une bijection strictement croissante de Le domaine de définition de f est donc . b) dérivée: Puisque nous pouvons appliquer la deuxième règle de calcul des logarithmes népériens à l'expression de f(x). L'expression obtenue sera plus facile à dériver. Calculons la dérivée de f: Observons chacun des facteurs formant cette dérivée: les facteurs , et sont strictement positifs, par conséquent le signe de la dérivée est le signe du seul facteur . Etudions le signe de cette expression. Pour cela, posons L'expression dont nous étudions le signe s'écrit alors: Calculons ses racines: Le tableau de signe de l'expression est donc: Nous devons tenir compte du fait que donc, nous obtenons le tableau de signe suivant: Autrement dit: Le tableau des variations de la fonction est: La fonction admet donc un maximum pour et ce maximum vaut: c) Equation des asymptotes - asymptotes verticales Le domaine de définition étant , calculons la limite de la fonction en 0 (limite à droite): Le graphe de la fonction admet donc l'axe Y comme asymptote verticale - asymptotes horizontales Remarquons que, vu le domaine de définition de la fonction, seule la limite en plus l'infini a un sens. Calculons d'abord la limite en plus l'infini de la fraction dans le logarithme népérien: Pour lever cette indétermination, nous appliquons la règle de l'Hospital: Nous en déduisons que: Le graphe n'admet donc pas d'asymptote horizontale. - asymptotes obliques Calcul du coefficient angulaire de l'asymptote oblique éventuelle: Pour lever cette indétermination, nous appliquons la règle de l'Hospital: Pour calculer cette limite, la règle de l'Hospital n'est ici d'aucune utilité, nous mettons en évidence dans chaque facteur la plus haute puissance de ex, puis nous simplifions les facteurs communs: Calcul de l'ordonnée à l'origine de l'asymptote oblique éventuelle: Pour lever cette indétermination, nous transformons x en ln ex, puis nous appliquons la première règle de calcul des logarithmes népériens: Procédons comme ci-dessus, mettons en évidence la plus haute puissance de ex : Le graphe de f admet donc l'asymptote oblique d'équation: d) Esquisse du graphe Démontrons d'abord que le graphe de f est situé en dessous de la droite d'équation y = -x. Pour cela nous devons démontrer que pour tout réel x strictement positif: Afin de démontrer cette inégalité, nous transformons x en ln ex, puis nous appliquons la première règle de calcul des logarithmes népériens: Cette dernière inégalité étant vraie pour tout réel, elle est vraie pour tout réel strictement positif et la thèse est donc démontrée. Rappels de cours concernant cette question: Domaine de définition d'une fonction Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction. Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre. L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction La fonction exponentielle népérienne définition où e est le nombre de Neper représentation graphique domaine de définition signe limites aux bornes du domaine dérivée propriété La fonction exponentielle népérienne est la réciproque de la fonction logarithme népérien: Quelques rappels au sujet de la fonction logarithme népérien Domaine de définition : R0+ Limite aux bornes du domaine: Racine Dérivée: Propriétés: Règles de calcul Représentation graphique Théorème du signe de la dérivée Si la dérivée d'une fonction f est positive sur un intervalle I de réels alors f est croissante sur cet intervalle I. Si la dérivée d'une fonction f est négative sur un intervalle I de réels alors f est décroissante sur cet intervalle I. Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum) Méthode : - calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) - rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe - en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema Asymptotes verticales et limites infinies Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation Asymptotes horizontales et limites en l'infini Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation : Asymptotes obliques Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation Calcul des limites en l'infini Remplacer la variable x par l'infini en respectant les règles suivantes (sauf les cas d'indétermination qu'il faut traiter par la méthode adéquate): - additionner l'infini à un réel donne l'infini avec conservation de son signe - additionner l'infini avec l'infini de même signe donne l'infini doté de ce signe - additionner l'infini avec l'infini de signe contraire est un cas d'indétermination (rappelons aussi que soustraire, c'est ajouter l'opposé) - multiplier l'infini par un réel non nul donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes - multiplier l'infini par l'infini donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes - multiplier l'infini par 0 est un cas d'indétermination - diviser un réel par l'infini donne 0 - diviser l'infini par l'infini est un cas d'indétermination Théorème de l'Hospital (énoncé simplifié) dans les cas: ou : Racines et signe de l'expression du second degré Considérons l'expression du second degré: Calculer le réalisant : 1er cas: Les racines sont : et le tableau de signe : 2ème cas: Le trinôme n'admet qu'une seule racine : et le tableau de signe : 3ème cas: Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x. Formules des dérivées employées dans cette question A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip Cette question résolue (référence : Q114) Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions. Les fiches de cours en rapport avec cette question: Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression. Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas. Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques. Cours de soutien scolaire Remportez un iPhone 4 et un an d'abonnement chez l'opérateur de votre choix Cet iPhone 4 est pour vous ! Le gagnant de cette opération sera sélectionné au hasard par un ordinateur. Il n’y a pas de nombre minimum ou maximum de participants. Les chances pour chaque participant de gagner dépendent du nombre total de participants à cette loterie. Le gagnant pourra être notifiés par téléphone, e-mail ou courrier postal. Clash-Media, société organisatrice du jeu concours iPad, pourra disqualifier un gagnant si elle n’a pas réussi à entrer en contact avec ledit gagnant dans les sept jours suivant la première tentative de le joindre. Dès lors, Clash-Media pourra choisir un autre gagnant. Le tirage aura lieu le 31 décembre 2010. Les news de Techno-science.net [ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie | Géométrie analytique | Trigonométrie | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ] Hébergement de votre site = 39 euro/an luxpixel.com
a) domaine de définition:
condition d'existence:
(1):
(2): la fonction exponentielle népérienne est une bijection strictement croissante de
Le domaine de définition de f est donc .
b) dérivée:
Puisque
nous pouvons appliquer la deuxième règle de calcul des logarithmes népériens à l'expression de f(x). L'expression obtenue sera plus facile à dériver.
Calculons la dérivée de f:
Observons chacun des facteurs formant cette dérivée: les facteurs , et sont strictement positifs, par conséquent le signe de la dérivée est le signe du seul facteur . Etudions le signe de cette expression. Pour cela, posons
L'expression dont nous étudions le signe s'écrit alors:
Calculons ses racines:
Le tableau de signe de l'expression est donc:
Nous devons tenir compte du fait que
donc, nous obtenons le tableau de signe suivant:
Autrement dit:
Le tableau des variations de la fonction est:
La fonction admet donc un maximum pour
et ce maximum vaut:
c) Equation des asymptotes
- asymptotes verticales
Le domaine de définition étant , calculons la limite de la fonction en 0 (limite à droite):
Le graphe de la fonction admet donc l'axe Y comme asymptote verticale
- asymptotes horizontales
Remarquons que, vu le domaine de définition de la fonction, seule la limite en plus l'infini a un sens.
Calculons d'abord la limite en plus l'infini de la fraction dans le logarithme népérien:
Pour lever cette indétermination, nous appliquons la règle de l'Hospital:
Nous en déduisons que:
Le graphe n'admet donc pas d'asymptote horizontale.
- asymptotes obliques
Calcul du coefficient angulaire de l'asymptote oblique éventuelle:
Pour calculer cette limite, la règle de l'Hospital n'est ici d'aucune utilité, nous mettons en évidence dans chaque facteur la plus haute puissance de ex, puis nous simplifions les facteurs communs:
Calcul de l'ordonnée à l'origine de l'asymptote oblique éventuelle:
Pour lever cette indétermination, nous transformons x en ln ex, puis nous appliquons la première règle de calcul des logarithmes népériens:
Procédons comme ci-dessus, mettons en évidence la plus haute puissance de ex :
Le graphe de f admet donc l'asymptote oblique d'équation:
d) Esquisse du graphe
Démontrons d'abord que le graphe de f est situé en dessous de la droite d'équation y = -x.
Pour cela nous devons démontrer que pour tout réel x strictement positif:
Afin de démontrer cette inégalité, nous transformons x en ln ex, puis nous appliquons la première règle de calcul des logarithmes népériens:
Cette dernière inégalité étant vraie pour tout réel, elle est vraie pour tout réel strictement positif et la thèse est donc démontrée.
Domaine de définition d'une fonction
Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.
Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre. L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction
La fonction exponentielle népérienne
définition
où e est le nombre de Neper
représentation graphique
domaine de définition
signe
limites aux bornes du domaine
dérivée
propriété
La fonction exponentielle népérienne est la réciproque de la fonction logarithme népérien:
Quelques rappels au sujet de la fonction logarithme népérien
Domaine de définition : R0+
Limite aux bornes du domaine:
Racine
Dérivée:
Propriétés:
Règles de calcul
Représentation graphique
Théorème du signe de la dérivée
Si la dérivée d'une fonction f est positive sur un intervalle I de réels alors f est croissante sur cet intervalle I.
Si la dérivée d'une fonction f est négative sur un intervalle I de réels alors f est décroissante sur cet intervalle I.
Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance
Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)
Méthode :
- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées)
- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe
- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema
Asymptotes verticales et limites infinies
Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation
Asymptotes horizontales et limites en l'infini
Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation :
Asymptotes obliques
Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation
Calcul des limites en l'infini
Remplacer la variable x par l'infini en respectant les règles suivantes (sauf les cas d'indétermination qu'il faut traiter par la méthode adéquate): - additionner l'infini à un réel donne l'infini avec conservation de son signe - additionner l'infini avec l'infini de même signe donne l'infini doté de ce signe - additionner l'infini avec l'infini de signe contraire est un cas d'indétermination (rappelons aussi que soustraire, c'est ajouter l'opposé) - multiplier l'infini par un réel non nul donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes - multiplier l'infini par l'infini donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes - multiplier l'infini par 0 est un cas d'indétermination - diviser un réel par l'infini donne 0 - diviser l'infini par l'infini est un cas d'indétermination
Théorème de l'Hospital
(énoncé simplifié)
ou
Racines et signe de l'expression du second degré
Considérons l'expression du second degré:
Calculer le réalisant :
Les racines sont :
et le tableau de signe :
Le trinôme n'admet qu'une seule racine :
Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.
Formules des dérivées employées dans cette question
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue (référence : Q114) Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions. Les fiches de cours en rapport avec cette question: Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression. Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas. Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.
Cette question résolue (référence : Q114)
Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression. Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas. Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.
Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)
Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.
Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.
Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.
Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.
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