Par conséquent, la limite demandée est un cas d'indétermination
. Transformons
l'expression donnée:
La dernière limite étant une indétermination du type
, nous
appliquons le théorème le l'Hospital:
b)
Utilisons la fonction exponentielle népérienne:
Nous obtenons:
Nous allons procéder par parties en posant:
Nous obtenons:
c)
Utilisons la formule de trigonométrie:
Nous en déduisons:
Nous allons maintenant effectuer la substitution suivante:
et donc:
Rappels de cours concernant cette
question:
Calcul
de la limite d'une fraction en un réel a
Si f(x) est une fraction dont le numérateur et le dénominateur s'annulent
tous deux pour x = a, on lève l'indétermination en utilisant le théorème de
l'Hospital. Dans le cas d'une fraction de polynômes, on peut aussi diviser le
numérateur et le dénominateur par x-a puis calculer la limite en a de la
fraction simplifiée obtenue.
Théorème de l'Hospital
(énoncé simplifié)
dans les cas:
ou
:
Intégration par parties
Intégration
par substitution
Pour calculer
on peut poser:
avec
Formules
des dérivées employées dans cette question
Formules des primitives
employées dans cette question
A
télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines,
trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes
et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations
avec les fonctions.
Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base et de la composées de ces fonctions,
opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration
par changement de variable.
Le formulaire de
trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle
double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation
- transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c
Les
fiches de cours en rapport avec cette question:
Dérivée
d'une fonction
(référence : F4)
définition, interprétation géométrique, applications (tangente
au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction,
étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)
Limite d'une fonction en
un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas
le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le
cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations
avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes,
d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini"
avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application,
astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini"
afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.
Maîtriser le calcul intégral
pas à pas
(référence F13)
Intégration immédiate, formules et leurs utilisations, comment transformer
astucieusement une expression afin de l'intégrer, intégration par parties,
intégration par substitution, liste de substitutions utiles, quelles formules
employer pour intégrer les fonctions trigonométriques, intégration des fractions
de polynômes, décomposition en fractions simples, calcul des intégrales
définies, les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir
celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail
et commentés - dossier de 29 pages
. Transformons
l'expression donnée:
, nous
appliquons le théorème le l'Hospital:
