Détermination d'une suite de 5 nombres en progression géométrique

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Examen d'admission Université Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 4 (Septembre 1999)

Enoncé:

Déterminer la (ou les) suite(s) de cinq nombres réels en progression géométrique dont le produit vaut 1 et la somme vaut 11/4.

Rappel: Une suite de nombres réels est en progression géométrique si chacun de ces nombres (à partir du deuxième) est égal au produit du précédent par une constante réelle différente de 0, de 1 et de -1.

Résolution:

Désignons par a le premier terme de cette suite et par r la raison (c'est-à-dire la constante réelle par laquelle chaque terme est multiplié pour obtenir le terme suivant).

Les cinq nombres sont donc:

Leur produit vaut 1 se traduit par l'équation:

Leur somme vaut 11/4 se traduit par l'équation:

Nous devons donc résoudre le système:

Remplaçons a dans (2), par l'expression tirée de (1) et résolvons l'équation obtenue:

Remarquons tout d'abord que cette équation du quatrième degré est une équation symétrique. Par conséquent, si r₀ est une solution de l'équation, son inverse 1/r₀ est également une solution de l'équation. En effet remplaçons r par 1/r₀ dans l'équation. Nous obtenons:

Cherchons une solution de cette équation afin de factoriser le premier membre de l'équation par division. En essayant différentes valeurs, nous observons que -2 vérifie l'équation et donc aussi -1/2. Nous allons donc diviser le premier membre de l'équation par r+2 puis par r+1/2 en appliquant la méthode de Hörner:

L'équation factorisée est donc:

Calculons les racines du facteur du second degré:

L'équation du quatrième degré n'admet donc pas d'autre solution que -2 et -1/2.

Calculons a en utilisant la relation (1). D'une part:

Les cinq nombres demandés sont alors:

D'autre part:

Les cinq nombres sont alors:

(Nous remarquons qu'il s'agit de la même suite lue dans l'autre sens)

Rappels de cours concernant cette question:

Principes d'équivalence des systèmes d'équations

Méthode de substitution

Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

Division d'un polynôme par x - a

Condition de divisibilité d'un polynôme par x - a

Calcul du quotient et du reste par la méthode de Horner

La méthode de Hörner est une disposition pratique permettant d'obtenir le quotient et le reste très rapidement.

Nous allons l'expliquer avec

et le diviseur

Nous construisons le tableau suivant:

La première ligne contient les coefficient de P(x) écrits dans l'ordre des puissances décroissantes de x (tous les coefficients doivent être inscrits, même les coefficients nuls). Sur la seconde ligne nous inscrivons la valeur de a dans le diviseur x-a.

Abaissons d'abord le premier coefficient de P(x) dans la troisième ligne:

Celui-ci est multiplié par a et inscrit dans la deuxième ligne en-dessous du deuxième coefficient de P(x) et additionné à celui-ci. On inscrit le résultat dans la troisième ligne:

On recommence ces étapes avec ce nouveau résultat (le coefficient est multiplié par a et inscrit sous le troisième coefficient de P(x) puis additionné à celui-ci):

Et ainsi de suite jusqu'à ce que la grille soit remplie:

La dernière ligne donne les coefficients du quotient et le reste.

A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q112)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Division euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de Hörner

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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