Examen d'admission Université Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 3 (Septembre 1999)

Enoncé:

Soit m un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres réels, l'inéquation

Résolution

Recherchons d'abord le domaine de l'inéquation:

Condition d'existence:

Le trinôme n'admet pas de racines, donc le domaine de l'inéquation est R.

Nous en déduisons également que le trinôme est strictement positif pour toute valeur de x et que par conséquent, nous obtenons une équation équivalente en multipliant les deux membres par :

L'inéquation donnée est équivalente à:

Nous obtenons une inéquation du second degré. Afin d'étudier le signe du premier membre, calculons d'abord son réalisant:

Le signe du premier membre de l'inéquation dépend du nombre de ses racines et donc du signe du réalisant. Etudions donc celui-ci:

Discutons maintenant le signe du premier membre de l'inéquation suivant le signe du réalisant:

1er cas:

Le tableau de signe du premier membre de l'inéquation est donc:

Tous les réels sont donc solution de l'inéquation:

2ème cas:

Si

L'inéquation est:

Cette inéquation est vérifiée pour toute valeur de x, excepté -1:

Si

L'inéquation est:

Cette inéquation est vérifiée pour toute valeur de x, excepté -1:

3ème cas:

Dans ce cas, le premier membre de l'inéquation admet deux racines qui sont:

Le tableau de signe du premier membre de l'inéquation est donc:

L'ensemble des solutions de l'inéquation est:

Résumé de la résolution:

Rappels de cours concernant cette question:

Une inéquation rationnelle est une inéquation composée de fractions de polynômes. Voici la méthode de résolution:

	Ramener tous les termes dans un seul membre.
	Réduire, le cas échéant, les fractions au même dénominateur.
	Factoriser le numérateur et le dénominateur en facteurs du premier et du second degré.
	Rechercher les racines de chacun de ces facteurs.
	Etablir un tableau de signes de l'expression.
	Ecrire l'ensemble des solutions de l'inéquation en se basant sur le signe de l'expression.

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

 

Calculer le réalisant : 

 

1er cas:

Les racines sont :
   

et le tableau de signe : 

 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine : 

   

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Identités remarquables employées dans cette question

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q111)

Le formulaire des identités remarquables
identités remarquables (formules de factorisation, carrés, cubes...) ainsi que la formule du binôme de Newton, le triangle de Pascal et les explications pour construire celui-ci.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Les inéquations 
(référence : F18) 
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.

 

 

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