Résolution d'une équation irrationnelle

Examen d'admission Université Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Septembre 1999)

Enoncé:

Résoudre dans les réels l'équation:

Résolution

Ecrivons d'abord les conditions d'existence:

Ecrivons l'équation sous la forme suivante:

Afin de se débarrasser des radicaux, nous élevons les deux membres au carré. Pour obtenir une équation équivalente, afin de garantir que les deux membres ont le même signe, nous devons ajouter la condition:

L'équation devient:

Remarquons qu'ainsi le premier membre étant égal à un carré, il est positif et donc la condition (1) est vérifiée. Effectuons les calculs dans le second membre:

Isolons dans un membre un radical:

Elevons à nouveau les deux membres au carré. Afin d'obtenir une équation équivalente, nous devons ajouter la condition:

Nous obtenons:

Remarquons à nouveau qu'ainsi le premier membre étant égal à un carré, il est positif et donc la condition (2) est vérifiée. Effectuons les calculs dans le second membre:

Nous concluons que tous les réels vérifiant les 5 conditions sont solutions de l'équation.

Les conditions (1) et (2) sont vérifiées. La (3) est résolue. Résolvons la condition (4):

Les deux membres de cette inéquation étant positifs, nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré:

Vu la condition (3), les deux membres de cette inéquation sont également positifs, et nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré:

Calculons les racines de ce trinôme du second degré puis réalisons le tableau de signes:

La condition (4) est donc équivalente à:

Résolvons maintenant la condition (5):

Les deux membres de cette inéquation étant positifs, nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré:

Les réels vérifiant les 5 conditions sont donc les réels x tels que:

Il s'agit aussi de l'ensemble des solutions de l'équation donnée:

Rappels de cours concernant cette question:

Résolution d'une équation irrationnelle

Une équation irrationnelle est une équation dont l'inconnue apparaît sous un signe radical.

Pour éliminer les radicaux, on élève les deux membres au carré (à cet effet, il est souvent utile d'isoler le radical dans un membre).

On utilise ainsi le principe d'équivalence:

Il faut donc exprimer la condition pour que les deux membres aient le même signe. La marche à suivre est la suivante:

	Rechercher le domaine de l’équation.
	Isoler le radical dans un membre.
	Rechercher la condition pour que les deux membres aient le même signe. (rappel : désigne le nombre positif dont le carré est a)
	Elever les deux membres au carré.
	Si l’équation obtenue contient encore un radical, isoler celui-ci dans un membre et renouveler le procédé.
	Lorsque l’équation ne contient plus de radical, résoudre l’équation obtenue.
	Rejeter les solutions ne faisant pas partie du domaine et celles qui ne vérifient pas les conditions.

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant :

1^er cas:

Les racines sont :

et le tableau de signe :

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine :

et le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Identités remarquables employées dans cette question

A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q110)

Le formulaire des identités remarquables
identités remarquables (formules de factorisation, carrés, cubes...) ainsi que la formule du binôme de Newton, le triangle de Pascal et les explications pour construire celui-ci.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.

Racines carrées d'un nombre réel
(référence F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés, résolution de l'équation x² = a, simplification des radicaux, comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Les inéquations
(référence : F18)
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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