a) Remarquons d'abord que la fonction:

est périodique de période et donc que

Par conséquent :

Calculons chacun des trois termes séparément:

Finalement:

b) Pour calculer cette intégrale définie, nous allons d'abord remplacer sin x et cos x en fonction de la tangente de l'angle moitié en utilisant les formules de trigonométrie:

Posons: 

Calcul d'une intégrale définie

 
où F est une primitive de f c’est-à-dire que

Fonction périodique et intégrale définie

On dit que la fonction f est une fonction périodique de période p s'il existe un réel p tel que la fonction vérifie l'égalité suivante, quel que soit x appartenant au domaine de la fonction:

Si f est une fonction périodique, alors l'intégrale définie de f sur tout intervalle dont la longueur est la période, est constante, donc
si b - a = d - c = période alors

Valeur absolue d'un réel et fonction sinus

Représentation de la fonction sinus:

On en déduit le graphe de la fonction valeur absolue de sinus x:

Intégration par substitution

Pour calculer

on peut poser:

avec

Formules des dérivées employées dans cette question

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip 

Cette question résolue (référence : Q11)

Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base  et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.

Le formulaire de trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation - transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Maîtriser le calcul intégral pas à pas!
(référence F13)
Intégration immédiate - formules et leurs utilisations - comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer - intégration par parties - intégration par substitution - liste de substitutions utiles - quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques - intégration des fractions de polynômes  - décomposition en fractions simples - calcul des intégrales définies - les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages

Intégrale définie d'une fonction continue sur l'intervalle [a,b]
(référence F3)
définition, propriétés, interprétation graphique, calcul, applications: calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution.

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