a) Remarquons d'abord que la fonction:
est périodique de période
et
donc que
Par conséquent :
Calculons chacun des trois termes séparément:
Finalement:
b) Pour calculer cette intégrale définie, nous allons d'abord remplacer sin
x et cos x en fonction de la tangente de l'angle moitié en utilisant les formules
de trigonométrie:
Posons:
|
Calcul
d'une intégrale définie |
où F est une primitive de f c’est-à-dire que
|
|
Fonction périodique
et intégrale définie |
On dit que la fonction f est une fonction périodique de période p s'il existe
un réel p tel que la fonction vérifie l'égalité suivante, quel que soit x appartenant
au domaine de la fonction:
Si f est une fonction périodique, alors l'intégrale définie de
f sur tout intervalle dont la longueur est la période, est constante, donc
si b - a = d - c = période alors
|
|
Valeur absolue
d'un réel et fonction sinus |
Représentation de la fonction sinus:
On en déduit le graphe de la fonction valeur absolue de sinus
x:
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|
Intégration par substitution
|
Pour calculer
on peut poser:
avec
|
|
Formules des primitives
employées dans cette question |
|
|
Formules des dérivées
employées dans cette question |
à télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q11)
Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base et de la composées de ces fonctions,
opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration
par changement de variable.
Le formulaire de
trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle
double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation
- transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Maîtriser le calcul intégral
pas à pas!
(référence F13)
Intégration immédiate - formules et leurs utilisations - comment transformer
astucieusement une expression afin de l'intégrer - intégration par parties
- intégration par substitution - liste de substitutions utiles - quelles
formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques - intégration
des fractions de polynômes - décomposition en fractions simples -
calcul des intégrales définies - les méthodes sont accompagnées de conseils
pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples
résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages
Intégrale définie d'une fonction
continue sur l'intervalle [a,b]
(référence F3)
définition, propriétés, interprétation graphique, calcul, applications:
calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution.
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