Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Analyse – Question 3.b) (Juillet 1999 - série 2)

Enoncé:

A minuit pile, un bateau A se situe juste au sud du bateau B à une distance de 10 km. Le bateau A va vers le nord et B vers l'ouest. La vitesse de chacun des bateaux est de 25 km/h. A quel moment les bateaux sont-ils le plus près l'un de l'autre et quelle est la distance minimale qui les sépare?

Résolution

Appelons C et D la position respective des bateaux A et B à minuit pile. Après un temps t, nous pouvons illustrer la situation de la façon suivante:

Après un temps t, les deux bateaux ont parcouru une distance égale à 25 t. Nous avons donc:

d'où également:

Le triangle ADB étant rectangle en D, nous pouvons écrire la relation de Pythagore:

d étant une fonction de t, dérivons les deux membres par rapport à la variable t:

Afin d'étudier les variations de d, nous devons étudier le signe de d ' :

La distance d entre les deux bateaux est donc minimale après 1/5 d'heure soit après 12 minutes. Il est à ce moment minuit 12 minutes.

A ce moment, nous avons:

Rappels de cours concernant cette question:

Le triangle ABC est rectangle en A

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) 

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q108)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du premier degré  
(référence : F1) 
définition, représentation, racine, signe

Dérivée d'une fonction 
(référence : F4) 
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

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