Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Analyse – Question 3.a) (Juillet 1999 - série 2)

Enoncé:

Si admet un maximum au point a, alors

-) f² admet un maximum au point a. Vrai ou faux? Justifiez brièvement!

-) e^f(x) admet un maximum au point a. Vrai ou faux? Justifiez brièvement!

Résolution

-) Faux. La fonction définie par admet un maximum en 0 et la fonction définie par admet un minimum en 0 comme l'illustre leur représentation graphique (graphe de f en rouge, graphe de f² en bleu).

-) Vrai. Puisque f admet un maximum en a, il existe un intervalle I contenant a tel que

et vu que la fonction exponentielle est strictement croissante on en déduit que:

ce qui exprime que la fonction e^f(x) admet un maximum en a.

Rappels de cours concernant cette question:

Pour justifier qu'une proposition est vraie, on cite la définition ou la propriété permettant d'affirmer que la proposition est vraie, ou on fait un raisonnement déductif à l'aide des définitions et/ou propriétés adéquates.

Pour justifier qu'une proposition est fausse, il suffit de citer un contre-exemple, c'est-à-dire un exemple (souvent un cas particulier) pour lequel la proposition n'est pas vérifiée.

f admet un maximum en a, il existe un intervalle I contenant a tel que

Illustration

La fonction représentée ci-dessus admet un maximum en 1.

f est une fonction croissante sur un intervalle I de réels si et seulement si

où e est le nombre de Neper

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Cette question résolue
(référence : Q107)

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