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On considère la fonction définie par
a) Donnez le domaine de f.
b) Calculez f ' et montrez que dans [1,e], f ' a une et une seule racine.
c) Donnez les équations des asymptotes.
d) Montrez que f " s'annule dans [1,e].
e) Esquissez le graphe de f.
Résolution a) domaine de définition: condition d'existence: Le domaine de définition de f est donc . b) dérivée: Calculons la dérivée de f: Observons chacun des facteurs formant cette dérivée: les facteurs et x sont strictement positifs, nous allons montrer que le facteur s'annule une et une seule fois dans l'intervalle [1,e]. Cette expression est définie et continue sur et donc dans l'intervalle [1,e]. Nous pouvons donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. En effet, si nous remplaçons x par 1 et par e dans cette expression, nous obtenons: Nous en déduisons donc que l'expression s'annule au moins une fois dans l'intervalle [1,e]. Pour démontrer qu'elle ne s'annule qu'une seule fois dans cet intervalle, nous calculons sa dérivée afin de connaître ses variations: Afin de dresser le tableau de signe de cette dérivée, nous recherchons ses racines: Tableau des variations: Puisque , dans l'intervalle [1,e], l'expression est donc strictement décroissante et ne peut donc s'annuler qu'une seule fois. c) Equation des asymptotes - asymptotes verticales Le domaine de définition étant , calculons la limite de la fonction en 0: Le graphe de la fonction admet donc l'axe Y comme asymptote verticale - asymptotes horizontales Pour lever cette indétermination, nous écrivons la fonction sous la forme d'un quotient (nous obtenons une forme indéterminée ). Appliquons alors le théorème de l'Hospital: Le graphe admet donc l'axe X comme asymptote horizontale des deux côtés. - asymptotes obliques Puisque le graphe de la fonction admet une asymptote horizontale des deux côtés, il n'y a pas d'asymptote oblique. d) Dérivée seconde Procédons comme nous l'avons fait pour la dérivée :observons chacun des facteurs formant cette dérivée seconde: les facteurs et x2 sont strictement positifs, nous allons montrer que le facteur s'annule dans l'intervalle [1,e]. Cette expression est définie et continue sur et donc dans l'intervalle [1,e]. Nous pouvons donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. En effet, si nous remplaçons x par 1 et par e dans cette expression, nous obtenons: Nous en déduisons donc que l'expression s'annule au moins une fois dans l'intervalle [1,e] et que par conséquent il en est de même pour la dérivée seconde. e) Esquisse du graphe Nous esquissons le graphe de f en tenant compte des résultats obtenus dans les questions précédentes, et en observant que la fonction est paire et donc que son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Nous savons que le graphe admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale avec et l'axe des abscisses comme asymptote horizontale. De plus 1 est une racine de f et sur l'intervalle [1,e], la dérivée s'annule une et une seule fois en changeant de signe en passant du positif au négatif. Par conséquent, le graphe admet un maximum dans cet intervalle. Puisque la dérivée seconde s'annule dans [1,e] avec changement de signe, le graphe admet un point d'inflexion dans cet intervalle. Rappels de cours concernant cette question: Domaine de définition d'une fonction Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction. Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre. L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction Domaine de continuité d'une fonction la fonction f est continue en le réel a Le domaine de continuité d'une fonction est l'ensemble des réels en lesquels la fonction est continue. Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition (fonction constante, identique, valeur absolue, inverse de x, puissance de x, racine nème de x, fonction sinus, cosinus, tangente, cotangent, exponentielles, logarithmes, arcsinus, arccosinus, arctangente, arccotangente). Toute fonction qui peut s'écrire comme une somme, un produit, un quotient ou une composée de fonctions continues sur leur domaine de définition est une fonction continue sur son domaine de définition. La fonction exponentielle népérienne définition où e est le nombre de Neper représentation graphique domaine de définition signe limites aux bornes du domaine dérivée propriété La fonction exponentielle népérienne est la réciproque de la fonction logarithme népérien: Quelques rappels au sujet de la fonction logarithme népérien Domaine de définition : R0+ Limite aux bornes du domaine: Racine Dérivée: Propriétés: Représentation graphique Théorème du signe de la dérivée Si la dérivée d'une fonction f est positive sur un intervalle I de réels alors f est croissante sur cet intervalle I. Si la dérivée d'une fonction f est négative sur un intervalle I de réels alors f est décroissante sur cet intervalle I. Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum) Méthode : - calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) - rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe - en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema Asymptotes verticales et limites infinies Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation Asymptotes horizontales et limites en l'infini Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation : Asymptotes obliques Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation Concavité et points d'inflexion On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle. Méthode : - calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules) - rechercher les racines des facteurs composant f'' et établir son tableau de signe - en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion Théorème de l'Hospital (énoncé simplifié) dans les cas: ou : Propriété d'une fonction continue dans un intervalle fermé Si f est une fonction continue dans l'intervalle fermé [a,b], alors l'image de cet intervalle fermé est un intervalle fermé [m,M] Illustration Conséquence Si f est une fonction continue dans [a,b] et que f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors f admet au moins une racine c dans l'intervalle [a,b]. Illustration Fonction paire, impaire La fonction f est paire signifie que, quel que soit le réel x de son domaine, f(-x) = f(x) Le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe Y. La fonction f est impaire signifie que, quel que soit le réel x de son domaine, f(-x) = -f(x) Le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine O des axes. Graphe d'une fonction paire Graphe d'une fonction impaire Formules des dérivées employées dans cette question A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip Cette question résolue (référence : Q106) Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions. Les fiches de cours en rapport avec cette question: Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression. Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas. Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques. Cours de soutien scolaire Les news de Techno-science.net [ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie | Géométrie analytique | Trigonométrie | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ] Hébergement de votre site = 39 euro/an luxpixel.com
a) domaine de définition:
condition d'existence:
Le domaine de définition de f est donc .
b) dérivée:
Calculons la dérivée de f:
Observons chacun des facteurs formant cette dérivée: les facteurs et x sont strictement positifs, nous allons montrer que le facteur s'annule une et une seule fois dans l'intervalle [1,e]. Cette expression est définie et continue sur et donc dans l'intervalle [1,e]. Nous pouvons donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. En effet, si nous remplaçons x par 1 et par e dans cette expression, nous obtenons:
Nous en déduisons donc que l'expression s'annule au moins une fois dans l'intervalle [1,e].
Pour démontrer qu'elle ne s'annule qu'une seule fois dans cet intervalle, nous calculons sa dérivée afin de connaître ses variations:
Afin de dresser le tableau de signe de cette dérivée, nous recherchons ses racines:
Tableau des variations:
Puisque , dans l'intervalle [1,e], l'expression est donc strictement décroissante et ne peut donc s'annuler qu'une seule fois.
c) Equation des asymptotes
- asymptotes verticales
Le domaine de définition étant , calculons la limite de la fonction en 0:
Le graphe de la fonction admet donc l'axe Y comme asymptote verticale
- asymptotes horizontales
Pour lever cette indétermination, nous écrivons la fonction sous la forme d'un quotient (nous obtenons une forme indéterminée ). Appliquons alors le théorème de l'Hospital:
Le graphe admet donc l'axe X comme asymptote horizontale des deux côtés.
- asymptotes obliques
Puisque le graphe de la fonction admet une asymptote horizontale des deux côtés, il n'y a pas d'asymptote oblique.
d) Dérivée seconde
Procédons comme nous l'avons fait pour la dérivée :observons chacun des facteurs formant cette dérivée seconde: les facteurs et x2 sont strictement positifs, nous allons montrer que le facteur s'annule dans l'intervalle [1,e]. Cette expression est définie et continue sur et donc dans l'intervalle [1,e]. Nous pouvons donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. En effet, si nous remplaçons x par 1 et par e dans cette expression, nous obtenons:
Nous en déduisons donc que l'expression s'annule au moins une fois dans l'intervalle [1,e] et que par conséquent il en est de même pour la dérivée seconde.
e) Esquisse du graphe
Nous esquissons le graphe de f en tenant compte des résultats obtenus dans les questions précédentes, et en observant que la fonction est paire et donc que son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Nous savons que le graphe admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale avec
et l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.
De plus 1 est une racine de f et sur l'intervalle [1,e], la dérivée s'annule une et une seule fois en changeant de signe en passant du positif au négatif. Par conséquent, le graphe admet un maximum dans cet intervalle.
Puisque la dérivée seconde s'annule dans [1,e] avec changement de signe, le graphe admet un point d'inflexion dans cet intervalle.
Domaine de définition d'une fonction
Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.
Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre. L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction
Domaine de continuité d'une fonction
la fonction f est continue en le réel a
Le domaine de continuité d'une fonction est l'ensemble des réels en lesquels la fonction est continue.
Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition (fonction constante, identique, valeur absolue, inverse de x, puissance de x, racine nème de x, fonction sinus, cosinus, tangente, cotangent, exponentielles, logarithmes, arcsinus, arccosinus, arctangente, arccotangente).
Toute fonction qui peut s'écrire comme une somme, un produit, un quotient ou une composée de fonctions continues sur leur domaine de définition est une fonction continue sur son domaine de définition.
La fonction exponentielle népérienne
définition
où e est le nombre de Neper
représentation graphique
domaine de définition
signe
limites aux bornes du domaine
dérivée
propriété
La fonction exponentielle népérienne est la réciproque de la fonction logarithme népérien:
Quelques rappels au sujet de la fonction logarithme népérien
Domaine de définition : R0+
Limite aux bornes du domaine:
Racine
Dérivée:
Propriétés:
Représentation graphique
Théorème du signe de la dérivée
Si la dérivée d'une fonction f est positive sur un intervalle I de réels alors f est croissante sur cet intervalle I.
Si la dérivée d'une fonction f est négative sur un intervalle I de réels alors f est décroissante sur cet intervalle I.
Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance
Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)
Méthode :
- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées)
- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe
- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema
Asymptotes verticales et limites infinies
Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation
Asymptotes horizontales et limites en l'infini
Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation :
Asymptotes obliques
Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation
Concavité et points d'inflexion
On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.
- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)
- rechercher les racines des facteurs composant f'' et établir son tableau de signe
- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion
Théorème de l'Hospital
(énoncé simplifié)
ou
Propriété d'une fonction continue dans un intervalle fermé
Si f est une fonction continue dans l'intervalle fermé [a,b], alors l'image de cet intervalle fermé est un intervalle fermé [m,M]
Illustration
Conséquence
Si f est une fonction continue dans [a,b] et que f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors f admet au moins une racine c dans l'intervalle [a,b].
Fonction paire, impaire
La fonction f est paire signifie que, quel que soit le réel x de son domaine, f(-x) = f(x)
Le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe Y.
La fonction f est impaire signifie que, quel que soit le réel x de son domaine, f(-x) = -f(x)
Le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine O des axes.
Graphe d'une fonction paire
Graphe d'une fonction impaire
Formules des dérivées employées dans cette question
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue (référence : Q106) Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions. Les fiches de cours en rapport avec cette question: Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression. Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas. Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.
Cette question résolue (référence : Q106)
Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression. Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas. Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.
Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)
Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.
Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.
Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.
Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.
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