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Examen d'admission Université
Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 3 (Juillet 1999 -
série 2)
Enoncé:
Trois
motocyclettes quittent la ville A vers la ville B à des vitesses respectives a,
b, c km/h constantes, avec 0<a<b<c.
La deuxième moto
se déplaçant à la vitesse b quitte la ville A deux heures après la première moto
qui se déplace à la vitesse a.
Combien de temps
après de départ de la deuxième moto, faut-il faire partir la troisième, se
déplaçant à la vitesse c, de manière à ce qu'elle rattrape les deux précédentes
au même endroit (c'est à dire au moment où la deuxième rattrape la première). A
quelle distance du point de départ a lieu cet événement?
Exprimez votre
résultat, en fonction de a, b, c. Ensuite appliquez au cas où a = 30, b = 50 et
c = 70 km/h.
Résolution:
Désignons par x la distance à laquelle la deuxième moto rattrape la première
et t le temps mis par la première moto, roulant à la vitesse constante a, pour
arriver à cet endroit. Nous avons donc la relation:
(1)
La deuxième moto a donc parcouru la distance x en un temps t - 2
avec une vitesse constante b. Nous obtenons la relation:
(2)
Désignons par t1 le temps écoulé après le départ de
la deuxième moto au moment du départ de la troisième moto. Celle-ci a donc
parcouru la distance x en un temps t-(2+t1) avec une vitesse
constante c. Nous avons donc la troisième relation:
(3)
De (1) et (2), nous tirons:
En remplaçant t dans (1), nous obtenons x:
Remplaçons x et t dans (3):
Il reste à résoudre cette équation:
Conclusion: la distance en km à laquelle les trois motos se
rejoignent est donnée par la formule:
Et le temps écoulé après le départ de la deuxième moto au moment
du départ de la troisième moto pour que celle-ci rattrape les deux autres au
même moment est donné par la formule:
Application numérique: si a = 30, b = 50 et c = 70 km/h, nous
obtenons:
et
Rappels de cours concernant cette question:
 |
Formules
du mouvement
rectiligne uniforme
|
Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniforme lorsque sa vitesse est
constante tout au long du trajet en ligne droite.
La vitesse est le rapport entre l'espace parcouru (en m) et le temps de parcours
(en s).
Si v désigne la vitesse, e l'espace parcouru et t le temps de
parcours, on a donc la formule:
A
télécharger:
format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette
question résolue
(référence : Q103)
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