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Soit a un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres réels, le système suivant (constitué d'une inéquation et d'une équation):
Isolons y dans la deuxième équation et remplaçons-le dans la première inéquation:
Nous allons résoudre l'inéquation. Effectuons le carré et rassemblons tous les termes dans un membre.
Il s'agit d'une inéquation du second degré que nous allons résoudre en étudiant le signe du premier membre. Calculons le réalisant:
Le signe du réalisant dépend de la valeur de a comme l'indique le tableau suivant:
1er cas: |
Dans ce cas, le premier membre a le signe de
pour toute
valeur de x, donc il est strictement positif et l'inéquation n'a pas de
solution. Par conséquent, le système donné n'a pas de solution non plus.
2ème cas: |
Si
 |
L'inéquation à résoudre est:
et la racine du premier membre est:
Voici le tableau de signe:
La seule solution est:
Calculons la valeur correspondante de y en remplaçant a et x par leur valeur dans la deuxième équation du système:
La solution du système est donc:
Si
 |
L'inéquation à résoudre est:
et la racine du premier membre est:
Voici le tableau de signe:
La seule solution est:
Calculons la valeur correspondante de y en remplaçant a et x par leur valeur dans la deuxième équation du système:
La solution du système est donc:
3ème cas: |
Les racines du premier membre de l'inéquation sont:
Et le tableau de signes:
Les solutions de l'inéquation sont donc:
Et la solution du système s'exprime donc:
(il s'agit d'un segment de la droite d'équation
)
Résumé de la discussion
| Si |
 |
alors |
|
| Si |
|
alors |
|
| SI |
|
alors |
|
| Si | 
|
alors |
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Pour le fun, voici l'interprétation graphique du système
L'inéquation
est représentée
par le disque de centre O et de rayon 1.
L'équation
est représentée
par la droite de pente variable -a et passant par le point (0,2). Suivant les
valeurs de a, cette droite pivote donc autour du point de coordonnée (0,2).
Les solutions du système sont les points communs au disque et à la droite. Suivant les valeurs de a:
- soit la droite n'a aucun point commun avec le disque
- soit elle a un seul point commun avec celui-ci (lorsqu'elle lui est tangente)
- soit elle a un segment de la droite en commun avec le disque.
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Principes d'équivalence des systèmes |
Méthode de substitution
Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.
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Racines et signe de l'expression du second degré |
Considérons l'expression du second degré:
Calculer le réalisant :
| 1er cas: |  |
Les racines sont :
et le tableau de signe :
| 2ème cas: |  |
Le trinôme n'admet qu'une seule racine :
et le tableau de signe :
| 3ème cas: |  |
Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.
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La représentation graphique de la fonction du premier degré d'équation : |
y = ax + b
est une droite. Cette droite passe par l'origine si b = 0.
- si le coefficient angulaire a > 0, la droite est strictement croissante
- si le coefficient angulaire a < 0, la droite est strictement décroissante
- si le coefficient angulaire a = 0, la droite est parallèle à l'axe des abscisses
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Equation du cercle dans un repère orthonormé |
Si (xC , yC) est la coordonnée du centre, et r le rayon, le cercle a pour équation:
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q102)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
La fonction du premier degré
(référence : F1)
définition, représentation, racine, signeLa fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produitEquations des droites dans le plan
(référence F5)
équation réduite, équation générale, tracer une droite, droite passant par un point et de coefficient directeur donné, droite passant par 2 points, interprétation géométrique du coefficient directeur, condition de parallélisme, condition de perpendicularité, angle que forme une droite avec l'axe des abscisses, exemples illustrant ces notions.Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométriqueComment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.Les inéquations
(référence : F18)
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation: règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.
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