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Examen d'admission Université
Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 1 (Juillet 1999 -
série 2)
Enoncé:
Déterminer toutes les solutions, réelles ou
complexes, du système d'équations que voici:
Résolution
Isolons y dans la première équation et remplaçons-le dans la seconde:
La deuxième équation ne contenant plus qu'une seule inconnue, nous allons
d'abord résoudre celle-ci:
Utilisons le binôme de Newton et le triangle de Pascal:
Utilisons la règle du produit nul:
Il reste à résoudre la dernière équation qui est une
équation du second degré. Calculons son réalisant:
Celui-ci étant un réel strictement négatif, l'équation
n'admet pas de solutions réelles mais deux solutions complexes:
Pour chacune des solutions en x, nous pouvons calculer la valeur
de y en remplaçant dans la première équation du système:
Nous obtenons donc 4 couples de solutions:
Rappels de cours concernant cette question:
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Principes d'équivalence des systèmes d'équations |
Méthode de substitution
Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par
l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le
système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.
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Formule
du binôme de Newton |
dans laquelle
et
Les
peuvent
aussi se calculer facilement à l'aide du tableau de Pascal:
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Identité
remarquable employées dans cette question |
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Nombre
complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres
réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
|
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Résolution de l'équation
du second degré dans les nombres complexes |
Soit à résoudre l'équation d'inconnue x (complexe)
où a, b, c sont des nombres complexes (a est non nul)
Calculer le réalisant:
| Calculer les racines carrées de |
 |
c'est-à-dire les complexes r tels que: |
Les solutions de l'équation sont alors données par la formule:
A
télécharger: format Microsoft Word compressé au format
.zip
Cette question résolue
(référence : Q101)
Le formulaire des
identités remarquables
identités remarquables (formules
de factorisation, carrés, cubes...) ainsi que la formule du binôme de
Newton, le triangle de Pascal et les explications pour construire celui-ci.
Les fiches de cours en rapport
avec cette question:
Résolution d'un système de 2 équations du
1er degré
(référence
F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique
Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres
complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes
- calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés
(produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines nèmes
d'un nombre complexe
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