Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Analyse – Question 3.b) (Juillet 1999 - série 1)

Enoncé:

Un couloir de 8m (de large) est prolongé à angle droit par un couloir de 1m. Quelle est la longueur de la plus longue tige rigide (non flexible) qui puisse être transportée horizontalement d'un couloir à l'autre ? (Négligez l'épaisseur de la tige !)

Résolution

La tige rigide la plus longue qui puisse être transportée horizontalement d'un couloir à l'autre touchera les murs du couloir et le coin intérieur du tournant comme sur le dessin ci-dessous. 

Nous avons nommé A et B les points où une tige touche les murs, D le coin intérieur, C l'autre coin et E le point du mur tel que ED est parallèle à CB. Pour que la tige puisse passer, il faut qu'elle mesure au maximum la plus petite des distance AB.

Appelons l la longueur AB, x la longueur AC et y la longueur CB avec x > 8 et y >0.

ABC étant un triangle rectangle en C, nous avons par Pythagore:

Les triangle AED et ACB étant semblables (triangles rectangles ayant un angle commun), nous avons:

Remplaçons y dans la première relation:

Dérivons membre à membre l'expression obtenue afin d'étudier ses variations:

Afin d'étudier les variations de l en fonction de x, nous devons étudier le signe de l' . Les facteurs x, l et sont positifs ( x>8 et l est une longueur).

Il reste à étudier le signe du facteur .Pour cela, nous calculons ses racines:

On en déduit le tableau de signe de l' et des variations de l:

Pour x = 10, la distance AB est la plus courte, c'est donc la longueur maximale d'une tige rigide que l'on peut transporter horizontalement dans ce couloir. Calculons cette longueur:

Rappels de cours concernant cette question:

Le triangle ABC est rectangle en A

Cas de similitudes

Les triangles ABC et A'B'C' sont semblables lorsque:

- soit ils ont deux angles respectivement de même amplitude

- soit ils ont un angle de même amplitude compris entre deux côtés proportionnels

- soit ils ont trois côtés proportionnels

Propriétés des triangles semblables

Si les triangles ABC et A'B'C' sont semblables, alors:

- les angles ont respectivement même amplitude:

- les côtés sont proportionnels:

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) 

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q100)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du premier degré  
(référence : F1) 
définition, représentation, racine, signe

Dérivée d'une fonction 
(référence : F4) 
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

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