Examen d'admission Université de Liège (Belgique)- Analyse – Question 2 (Septembre 1998)

Enoncé:

Etudier les variations de la fonction

Résolution

domaine de définition

condition d'existence:

racine du numérateur : 1

racine du dénominateur : -1

racines et signe

racines:

0 n'est pas une racine, car la fonction n'est pas définie en 0.

La seule racine de la fonction est donc 1. Le point commun du graphe avec l'axe des abscisses est (1,0).

Signe:

Asymptotes

Asymptotes verticales

Le graphe admet donc une asymptote verticale d'équation x= -1 (à gauche vers le bas).

Asymptotes horizontales

Le graphe n'admet donc pas d'asymptote horizontale.

Asymptotes obliques

Le graphe admet donc la droite d'équation y = x - 1 pour asymptote oblique.

Dérivée

racines du facteur du second degré:

dérivée seconde

Tableau récapitulatif

Le graphe admet un point d'inflexion :

Représentation graphique

Rappels de cours concernant cette question:

Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre.    L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant : 

1er cas:

Les racines sont :

et le tableau de signe : 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine :  

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Asymptotes verticales et limites infinies

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation

Si f(x) est une fraction dont le numérateur s'annule pour x = a, mais pas le dénominateur, les limites de f à gauche et à droite en a sont infinies. On détermine le signe en étudiant le signe de la fonction.

Asymptotes horizontales et limites en l'infini

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation :

La limite en l'infini d'une fraction de polynômes est égale à la limite en l'infini du quotient des termes de plus haut degré de ces deux polynômes.

Asymptotes obliques

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation

Extremum d'une fonction (maximum ou minimum)

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) 

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Formules des dérivées employées dans cette question

Concavité et points d'inflexion

On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.

 Méthode :

- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)

- rechercher les racines des facteurs composant  f'' et établir son tableau de signe 

- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion 

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip 

Cette question résolue (référence : Q10)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré 
(référence F2)
définition, représentation graphique, racines, propriétés des racines, signe, factorisation.

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.

Asymptotes du graphe d'une fonction
(référence F12)
Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Dérivée d'une fonction 
(référence F4)
définition, interprétation géométrique, applications : tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction.

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